Bloque 1: Dominio, Contradominio e Imagen.

* Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y. 

* Se llama contra-dominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como co-dominio, recorrido o rango.


Ejemplo

Dada la función f =  (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6):
• Dominio: Df =  4, 6,-1, 2,- 3 (son los primeros elementos de los pares ordenados).
• Contra-dominio Cf  = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados).


* Se llama imagen o recorrido de una función a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.




Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por todos los primeros elementos de los
pares ordenados que pertenecen a R, e imagen o rango al conjunto formado por los segundos elementos.
Es decir, si R es una relación de A a B, entonces

Dom -(R) = {a ∈ A,∃b : b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}
Img (R) = {b ∈ B,∃a : a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}

Así en el ejemplo anterior, el dominio de R es Dom (R) = {1,3} y la imagen Img (R) = {2,3}


Ejemplo 

Para los conjuntos U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,4,5}, determinar:

(a) |A × B|.
(b) El numero de relaciones de A a B.
(c) El numero de relaciones binarias en A.
(d) El numero de relaciones de A a B que contengan al (1,2) y al (1,5).
(e) El numero de relaciones de A a B que contengan exactamente cinco pares ordenados.
(f) El numero de relaciones binarias en A que contengan siete elementos como mınimo.


Solución:

(a) |A × B| = |A| · |B| = 3 · 3 = 9

(b) Sea N el numero de relaciones de A a B.
Como una relacion es cualquier subconjunto del producto cartesiano de A por B, el numero de
relaciones de A a B ser´a igual al numero de subconjuntos que tenga A × B, es decir, el numero de
elementos del conjunto de las partes de este conjunto, por tanto,
N = |P(A × B)| = 2|A×B| = 29

(c) Igual que en el apartado anterior, si N es el n´umero pedido, entonces
N = |P(A × A)| = 2|A×A| = 29

(d) Si eliminamos del producto cartesiano de A y B los pares (1,2) y (1,5), quedaran 7 pares, luego
el numero de posibles relaciones que pueden establecerse sin ellos sera 27
igual al numero N de
relaciones que contienen a los dos pares dados ya que bastar´ıa con añadirlos a cada una de las
relaciones que no los tienen, por tanto,
N = 2 7

(e) Dos subconjuntos con cinco pares del producto cartesiano de A y B, ser´an distintos s´olo si se
diferencian en alg´un par sin que el orden en que los mismos figuren en el subconjunto influya para
nada, por tanto, el n´umero de subconjuntos de A×B con cinco pares ser´a igual al de combinaciones
de nueve elementos tomados cinco a cinco, es decir, si N es el n´umero pedido, entonces

N = C9,5 =  _9_   = 126
                      5  

(f) Sea Ni el numero de relaciones que contienen i elementos y sea N el numero pedido. Entonces,
                                                            N = N7 + N8 + N9

y razonando igual que en el apartado anterior,

          Ni = C9,i =  _9_
                                i
luego,

N = C9,7 + C9,8 + C9,9 = _9_   +  _9_   +  _9_   =  46
                                              7           8           9


Ejemplo 


Para U = Z
+, A = {2,3,4,5,6,7}, B = {10,11,12,13,14}, escribir los elementos de la relación R ⊂ A × B, donde
aRb si y solo si a divide (exactamente) a b.


Solución

R = {(2,10),(2,12),(2,14),(3,12),(4,12),(5,10),(6,12),(7,14)}

Bloque 1: Relaciones

Relación

Sean los conjuntos A1, A2, . . . , An. 
Una relación R sobre A1 ×A2 ×· · · ×An es cualquier subconjunto de este producto cartesiano, es decir,
R ⊆ A1 × A2 × · · · × An

Si R = ∅, llamaremos a R, la relación vacía.
Si R = A1 × A2 × · · · × An, llamaremos a R la relación universal.
Si Ai = A, ∀i = 1,2, . . . , n, entonces R es una relación n-aria sobre A.
Si n = 2, diremos que R es una relación binaria y si n = 3, una relación ternaria.


Igualdad de Relaciones

Sean R1 una relación, n-aria sobre A1×A2×· · ·×An y R2 una relación n-aria sobre B1×B2×· · ·×Bm.
Entonces R1 = R2 si, y s´olo si n = m y Ai = Bi
,∀i = 1,2, . . . , n y R1 y R2 son conjuntos de n-tuplas ordenadas iguales.


 Relaciones Binarias

La clase más importante de relaciones es la de las relaciones binarias. Debido a que este tipo de relaciones
son las más frecuentes, el termino “ relación” denota generalmente una relación binaria; adoptaremos este
criterio cuando no haya confusión y especificaremos las que no sean binarias con términos tales como
“ternaria” o “n-aria”.

Si (a, b) ∈ R diremos que a está relacionado con b y lo notaremos por aRb.
Si (a, b) ∈/ R, escribiremos aR/ b y diremos que a no está relacionado con b.

Ejemplo 


Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R 
de A a B definida por:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a es producido por b
Solución
La relación sería:
R = {(huevos,gallinas),(leche,vacas),(leche,cabras)}

Ejemplo 


(a) Sea R la relación “menor que” definida en el conjunto Z de los números enteros.
Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3,5) ∈ R y 5 </ 3 para indicar que (3,5) ∈/ R

(b) Sea R la relación “es un múltiplo de” en el conjunto de los enteros positivos.
Entonces,  4R2 pero 2R/ 4. Más generalmente, xRy si, y solo si x = ky para alg´un k ∈ Z +.
Así para todo x, xR1. Si p > 1, entonces p es primo si xRp implica que x = 1 ´o x = p. Un numero x
es impar si xR/ 2.

(c) Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que
contiene los nombres de los símbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada
nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. As´ı pues,
si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de
las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las
relaciones binarias de S a A y de S a P.

(d) Como dijimos anteriormente, una relación binaria sobre el conjunto de los números reales puede
representarse gráficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gráfica de la relación

R = {(x, y) ∈ R × R : |x| + |y| = 1}

|x| + |y| = 1


Ejemplo 

Sea A = {1,2,3} y R = {(1,2),(1,3),(3,2)}. R es una relación en A ya que es un
subconjunto de A × A. Con respecto a esta relación, tendremos que

1R2, 1R3, 3R2, pero 1R/ 1, 2R/ 1, 2R/ 2, 2R/ 3, 3R/ 1, 3R/ 3