Bloque 1: Dominio, Contradominio e Imagen.

* Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y. 

* Se llama contra-dominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como co-dominio, recorrido o rango.


Ejemplo

Dada la función f =  (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6):
• Dominio: Df =  4, 6,-1, 2,- 3 (son los primeros elementos de los pares ordenados).
• Contra-dominio Cf  = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados).


* Se llama imagen o recorrido de una función a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.




Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por todos los primeros elementos de los
pares ordenados que pertenecen a R, e imagen o rango al conjunto formado por los segundos elementos.
Es decir, si R es una relación de A a B, entonces

Dom -(R) = {a ∈ A,∃b : b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}
Img (R) = {b ∈ B,∃a : a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}

Así en el ejemplo anterior, el dominio de R es Dom (R) = {1,3} y la imagen Img (R) = {2,3}


Ejemplo 

Para los conjuntos U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,4,5}, determinar:

(a) |A × B|.
(b) El numero de relaciones de A a B.
(c) El numero de relaciones binarias en A.
(d) El numero de relaciones de A a B que contengan al (1,2) y al (1,5).
(e) El numero de relaciones de A a B que contengan exactamente cinco pares ordenados.
(f) El numero de relaciones binarias en A que contengan siete elementos como mınimo.


Solución:

(a) |A × B| = |A| · |B| = 3 · 3 = 9

(b) Sea N el numero de relaciones de A a B.
Como una relacion es cualquier subconjunto del producto cartesiano de A por B, el numero de
relaciones de A a B ser´a igual al numero de subconjuntos que tenga A × B, es decir, el numero de
elementos del conjunto de las partes de este conjunto, por tanto,
N = |P(A × B)| = 2|A×B| = 29

(c) Igual que en el apartado anterior, si N es el n´umero pedido, entonces
N = |P(A × A)| = 2|A×A| = 29

(d) Si eliminamos del producto cartesiano de A y B los pares (1,2) y (1,5), quedaran 7 pares, luego
el numero de posibles relaciones que pueden establecerse sin ellos sera 27
igual al numero N de
relaciones que contienen a los dos pares dados ya que bastar´ıa con añadirlos a cada una de las
relaciones que no los tienen, por tanto,
N = 2 7

(e) Dos subconjuntos con cinco pares del producto cartesiano de A y B, ser´an distintos s´olo si se
diferencian en alg´un par sin que el orden en que los mismos figuren en el subconjunto influya para
nada, por tanto, el n´umero de subconjuntos de A×B con cinco pares ser´a igual al de combinaciones
de nueve elementos tomados cinco a cinco, es decir, si N es el n´umero pedido, entonces

N = C9,5 =  _9_   = 126
                      5  

(f) Sea Ni el numero de relaciones que contienen i elementos y sea N el numero pedido. Entonces,
                                                            N = N7 + N8 + N9

y razonando igual que en el apartado anterior,

          Ni = C9,i =  _9_
                                i
luego,

N = C9,7 + C9,8 + C9,9 = _9_   +  _9_   +  _9_   =  46
                                              7           8           9


Ejemplo 


Para U = Z
+, A = {2,3,4,5,6,7}, B = {10,11,12,13,14}, escribir los elementos de la relación R ⊂ A × B, donde
aRb si y solo si a divide (exactamente) a b.


Solución

R = {(2,10),(2,12),(2,14),(3,12),(4,12),(5,10),(6,12),(7,14)}

Bloque 1: Relaciones

Relación

Sean los conjuntos A1, A2, . . . , An. 
Una relación R sobre A1 ×A2 ×· · · ×An es cualquier subconjunto de este producto cartesiano, es decir,
R ⊆ A1 × A2 × · · · × An

Si R = ∅, llamaremos a R, la relación vacía.
Si R = A1 × A2 × · · · × An, llamaremos a R la relación universal.
Si Ai = A, ∀i = 1,2, . . . , n, entonces R es una relación n-aria sobre A.
Si n = 2, diremos que R es una relación binaria y si n = 3, una relación ternaria.


Igualdad de Relaciones

Sean R1 una relación, n-aria sobre A1×A2×· · ·×An y R2 una relación n-aria sobre B1×B2×· · ·×Bm.
Entonces R1 = R2 si, y s´olo si n = m y Ai = Bi
,∀i = 1,2, . . . , n y R1 y R2 son conjuntos de n-tuplas ordenadas iguales.


 Relaciones Binarias

La clase más importante de relaciones es la de las relaciones binarias. Debido a que este tipo de relaciones
son las más frecuentes, el termino “ relación” denota generalmente una relación binaria; adoptaremos este
criterio cuando no haya confusión y especificaremos las que no sean binarias con términos tales como
“ternaria” o “n-aria”.

Si (a, b) ∈ R diremos que a está relacionado con b y lo notaremos por aRb.
Si (a, b) ∈/ R, escribiremos aR/ b y diremos que a no está relacionado con b.

Ejemplo 


Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R 
de A a B definida por:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a es producido por b
Solución
La relación sería:
R = {(huevos,gallinas),(leche,vacas),(leche,cabras)}

Ejemplo 


(a) Sea R la relación “menor que” definida en el conjunto Z de los números enteros.
Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3,5) ∈ R y 5 </ 3 para indicar que (3,5) ∈/ R

(b) Sea R la relación “es un múltiplo de” en el conjunto de los enteros positivos.
Entonces,  4R2 pero 2R/ 4. Más generalmente, xRy si, y solo si x = ky para alg´un k ∈ Z +.
Así para todo x, xR1. Si p > 1, entonces p es primo si xRp implica que x = 1 ´o x = p. Un numero x
es impar si xR/ 2.

(c) Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que
contiene los nombres de los símbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada
nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. As´ı pues,
si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de
las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las
relaciones binarias de S a A y de S a P.

(d) Como dijimos anteriormente, una relación binaria sobre el conjunto de los números reales puede
representarse gráficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gráfica de la relación

R = {(x, y) ∈ R × R : |x| + |y| = 1}

|x| + |y| = 1


Ejemplo 

Sea A = {1,2,3} y R = {(1,2),(1,3),(3,2)}. R es una relación en A ya que es un
subconjunto de A × A. Con respecto a esta relación, tendremos que

1R2, 1R3, 3R2, pero 1R/ 1, 2R/ 1, 2R/ 2, 2R/ 3, 3R/ 1, 3R/ 3

Bloque 1. Funciones

En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado co-dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del co-dominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

A cada libro de la biblioteca le corresponde un número de páginas.

A cada circunferencia le corresponde su área.

A cada hombre le corresponde su edad.

A cada computadora le corresponde su teclado.

A cada niño le su pupitre.

TIPOS DE FUNCIONES:

FUNCIÓN EXPLICITA.-Una función explicita cuando en la ecuación que activa como regla de correspondencia se tiene despeje la dependiente.

* f(x) = 5x − 2

FUNCIÓN IMPLÍCITA.-Se llama implícita cuando esta definida de la forma en lugar de la habitual.

* 5x − y − 2 = 0

FUNCIÓN INYECTIVA.-Una función es inyectiva si a cada elemento de el rango o imagen se le asocia como uno solo y un elemento del dominio.

FUNCIÓN BIYECTIVA:-Para que una función sea biyectiva se requiere que sea al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

FUNCIÓN CONTINUA:-si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, si no presenta puntos de discontinuidad.

FUNCIÓN DESCONTINUA.- Si tiene puntos en las cuales una pestaña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable independiente.

FUNCIÓN ALGEBRAICA:- es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios.

FUNCIÓN TRASCENDENTE:- Es una función que trasciende al álgebra en un sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia que no puede ser  expresada en términos de una secuencia infinita, una función de una  variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico.

Existen distintos tipos de funciones, según las características de la expresión algebraica:

Polinómicas: son aquellas funciones que las define un polinomio. Su dominio es el conjunto de los números reales. Estas funciones son continuas, carecen de asíntotas horizontales o verticales que, de acuerdo a su grado, presentan puntos de inflexión, mínimos y máximos.

Lineal: las funciones lineales son polinómicas y se la representa gráficamente a partir de una recta y su expresión analítica es un polinomio de primer grado. Para poder graficarla alcanza con conocer dos de sus puntos. En estas funciones, su margen es el conjunto de los números reales.

Constante: estas funciones se representan gráficamente con una recta horizontal, paralela el eje de las abscisas. En estas funciones, cada vez que se incrementa x en una unidad, su resultado no aumenta. Su dominio son los números naturales.

Cuadráticas: son funciones polinómicas de segundo grado y su representación gráfica es siempre una curva que se la conoce bajo el nombre de parábola. Las raíces de esta clase de función son aquellos valores de X cuya expresión es cero, gráficamente, donde la parábola corta el eje de X. Si a es mayor a cero, la parábola es cóncava, si es menor a cero, será convexa.

Racional: una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones es el conjunto de los números reales, excepto por aquellos que anulen al denominador.

Exponencial: en este tipo de variables, la base de la potencia es constante mientras que el exponente la variable. El dominio de estas funciones son el conjunto de números reales.